РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 2315 Добавить в вариант

Методы геометрии: Теорема Пифагора, Теорема косинусов

Классификатор стереометрии: 1\.5\. Угол между прямыми, 3\.9\. Прямоугольный параллелепипед

Разные задачи

ABCDA₁B₁C₁D₁  — прямой параллелепипед, объем которого равен $дробь: числитель: 5 корень из 7 , знаменатель: 2 конец дроби .$ Длины сторон AB и BC основания ABCD равны $корень из 7$ и $корень из 2$ соответственно, косинус угла ABC равен $минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби .$ На ребрах AA₁ и A₁B₁ взяты точки M и N соответственно, такие, что AM : MA₁  =  4 : 1, A₁N : NB₁  =  1 : 4. Найдите значение выражения $8 корень из: начало аргумента: 66 конец аргумента умножить на косинус фи ,$ где φ  — угол между прямыми MN и BC₁.

Решение. Так как косинус угла ABC равен $минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби ,$ синус этого угла равен $дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби .$ Объем параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равен

$V_ABCDA_1B_1C_1D_1 = BC умножить на CD умножить на синус \angle BCD умножить на CC_1 = корень из 7 умножить на корень из 2 умножить на дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби умножить на CC_1 = дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,$

отсюда CC₁  =  2. Заметим, что A₁N : A₁B₁  =  A₁M : A₁A, следовательно, прямые MN и AB₁ параллельны. Прямые AB₁ и DC₁ также параллельны, следовательно, угол между прямыми MN и BC₁ равен углу BC₁D. Получаем:

$косинус \angle BCD = минус косинус \angle ABC = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби ,$

следовательно,

$BD в квадрате = 7 плюс 2 минус 2 умножить на корень из 7 умножить на корень из 2 умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: 11, знаменатель: 2 конец дроби = B_1D_1 в квадрате .$

Имеем:

$BC_1 = корень из: начало аргумента: CC_1 в квадрате плюс BC в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 4 плюс 2 конец аргумента = корень из 6 ,$

$DC_1 = корень из: начало аргумента: CC_1 в квадрате плюс CD в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 4 плюс 7 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента .$

Применяя теорему косинусов в треугольнике BC₁D, получим:

$косинус \angle BC_1D = дробь: числитель: BC_1 в квадрате плюс DC_1 в квадрате минус BD в квадрате , знаменатель: 2 умножить на BC_1 умножить на DC_1 конец дроби = дробь: числитель: 6 плюс 11 минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: 2 умножить на корень из 6 умножить на корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 23, знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 66 конец аргумента конец дроби .$

Тогда

$8 корень из: начало аргумента: 66 конец аргумента умножить на косинус \angle BC_1D = 8 корень из: начало аргумента: 66 конец аргумента умножить на дробь: числитель: 23, знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 66 конец аргумента конец дроби = 46.$

Ответ: 46.

Ответ: 46

2315

Методы геометрии: Теорема Пифагора, Теорема косинусов

Классификатор стереометрии: 1\.5\. Угол между прямыми, 3\.9\. Прямоугольный параллелепипед

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2315	46